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必发88官网:“靶向中考”重高冲刺专题:掌握弦图模型,秒杀中考难题

浏览人数:49|上传时间:2019-07-04 20:59:20|来源:战神娱乐-战神娱乐app-战神娱乐官网

  “弦图”是由八个形状相同、大小相等的直角三角形,拼成的四个长方形而围成的中空也为正方形的正方形。早在一千七百多年前,三国时期的吴国数学家赵爽,在为我国数学巨著 《周髀算经》作注释时,就利用它对勾股定理作出了严格而又简捷的证明。

  弦图的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和,中空部分的小正方形的边长,就是长方形长边与宽边的差。根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系,斜边与直角边的关系,可以巧妙而简捷地解决许多实际问题。

  如图1,在边长为c的正方形中,有四个斜边长为c的全等的直角三角形,它们的直角边长分别为a,b,利用这个图形证明勾股定理(这是我国古代数学家赵爽的拼图,简称赵爽弦图),这个图形为背景的问题,近年来很多涉及这个图形问题频频出现,体现了数形结合思想应用魅力。

  类型1 用来探究线段数量关系

  1.(2018秋?兴化市校级月考)现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题:

  (1)试说明a2+b2=c2;

  (2)如果大正方形的面积是6必发88官网,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.

  【解答】(1)∵大正方形面积为c2,直角三角形面积为1/2ab,小正方形面积为(b﹣a)2,

  ∴c2=4×1/2ab+(a﹣b)2=2ab+a2﹣2ab+b2,即c2=a2+b2.;

  (2)由图可知,(b﹣a)2=2,4×1/2ab=6﹣2=4,∴ab=1,

  ∴(a+b)2=(b﹣a)2+4ab=2+4=6.

  2. 问题背景:

  如图1,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形.

  类比探究:

  如图2,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交与D,E,F三点(D,E,F三点不重合).

  (1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明.

  (2)△DEF是否为正三角形?请说明理由.

  (3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系.设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.

  分析:(1)已知有一组对应边相等,由旋转可得一组对应角相等,证明另一组对应角相等即可.

  (2)由(1)中全等可得△DEF三个外交对应相等,从而可得三个内角对应相等.

  (3)由(2)知∠ADB=120°,根据特殊角构造直角三角形,作AG⊥BD,利用特殊角三角函数及勾股定理即可求解.

  解:(1)△ABD≌△BCE≌△CAF,

  证明:∵正△ABC,∴∠CAB∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC.

  ∵∠ABD=∠ABC-∠2,∠BCE=∠ACB-∠3,而∠2=∠3.

  ∴∠ABD=∠BCE,又∵∠1=∠2,∴△ABD≌△BCE(SAS)

  (2)△DEF是正三角形.

  证明:∵△ABD≌△BCE≌△CAF,∴∠ADB=∠BEC=∠CFA.

  ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,∴△DEF是正三角形.

  (3)作AG⊥BD,交BD延长线于G.又△DEF是正三角形得到∠ADG=60°

  ∴在Rt△ADG中,c2=(a+1/2b)2+(√3/2b)2,∴c2=a2+ab+b2.

  类型2 必发88官网 用来求面积

  3.(2018春?思明区校级期中)如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c.如图②,现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,OC=3,则该飞镖状图案的面积( )

  A.6 B.12

  C.24 D.24√3

  【解答】根据题意得:4(AB+AC)=24,即AB+AC=6,OB=OC=3,

  在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB2=OA2+OB2,

  即(6﹣AC)2=32+(3+AC)2,解得:AC=1,

  ∴OA=3+1=4,∴S△AOB=1/2×3×4=6,

  则该飞镖状图案的面积为24,故选:C.

  4.(2018?温州中考题)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )

  A.20 B.24

  C.99/4 D.53/2

  【解答】设小正方形的边长为x,∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7,

 必发88 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(3+x)2+(x+4)2=72,

  整理得,x2+7x﹣12=0,而长方形面积为x2+7x+12=12+12=24

  ∴该矩形的面积为24,故选:B.

  5.(2018春?新洲区期末)如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是( )

  A.12 B.15

  C.20 D.30

  【解答】设每个小直角三角形的面积为m,则S1=4m+S2,S3=S2﹣4m,

  因为S1+S2+S3=60,所以4m+S2+S2+S2﹣4m=60,

  即3S2=60,解得S2=20.故选:C.

  6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=_____.

  【解答】∵八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,

  ∴CG=KG,CF=DG=KF,

  ∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG?DG=GF2+2CG?DG,

  S2=GF2,S3=(KF﹣NF)2=KF2+NF2﹣2KF?NF,

  ∴S1+S2+S3=GF2+2CG?DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF?NF=3GF2=12,

  故答案是:12.

  【方法点拨】此题主要考查了勾股定理的应用,用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质,根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题的难点.

  类型3 用来求周长或线段长

  7.(2018秋?温江区校级月考)如图1(题头的图)所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )

  A.9 B.6

  C.4 D.3

  【解答】由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,

  ∵每一个直角三角形的面积为:1/2ab=1/2×8=4,

  ∴4×1/2ab+(a﹣b)2=25,

  ∴(a﹣b)2=25﹣16=9,∴a﹣b=3,故选:D.

  8.(2017浙江丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为

  a+b=14.b-a=2,解得a=6,b=8,由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为10,即方形EFGH的边长为10.

  9.(2018秋?安岳县期末)勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,已知∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的周长为( )

  A.40 B.44

  C.84 D.88

  【解答】如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,

  ∴四边形AOLP是正方形,边长AO=AB+AC=6+8=14,

  ∴KL=6+14=20,LM=8+14=22,

  ∴矩形KLMJ的周长为2×(20+22)=84.故选:C.

  小结:这类问题的解题思路特色鲜明:往往借助整体思想,方程思想联袂出击,其中所列等式整体变形很关键,方程四工具,只有意识到这一点,我们才可掌握这类问题必杀技!


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